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宇宙を歩く高校数学 基礎

中身は高校数学(ⅠA・ⅡB・Ⅲ)の教科書レベルでの解説をしていきます。

定数関数・1次関数【数Ⅰ】

定数関数・1次関数

a, cを定数として、関数y=ax+cのグラフは直線になります。これを直線y=ax+cといい、y=ax+cをこの直線の方程式といいます。

 

このように、yがxの1次式で表される関数を1次関数といいます。

 

ここでa=0のとき、y=cとなりxの値に関係なくyの値は常に一定となります。このy=cのようにy=(定数)となる関数を定数関数といいます。

 

 

まとめると、関数y=ax+cのグラフは

①a>0のとき

   傾きがa(右上がり)、y切片(y軸との交点)がcの直線

②a<0のとき

   傾きがa(右下がり)、y切片がcの直線

③a=0のとき

   傾きが0、y切片がc、x軸に並行な直線

となります。

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関数【数Ⅰ】

関数

定数:値が固定されて変化しない数のこと。ただしその値が具体的な数値として特定されていなくてもよい(つまり文字でもOK)

変数:値が変化する数のこと。未知または定まっていない数を表す。

 

2つの変数x, yがあり、

の値を決める→yの値がただ1つに定まる

とき、yはxの関数であるといいます。

また、yがxの関数であることを y=f (x)y=g(x), y=h(x)のように表します。

 

これが超超超超超重要なのでかみ砕きます。

 

関数はよく自動販売機に例えられます。

 

自動販売機はボタンを押すとただ1つ決まった商品が出てきます。

 

関数y=f (x) も、

xの値を決める(ボタンを押す)ただ1つyの値が決まり(決まった商品が出てき)ます。

 

例えば

y=x+2

において、

x = 5 と決めると、ただ1つyの値は y = 7 に決まります

なのでこの式においてyはxの関数です。

また、y = 3 と決めると、ただ1つxの値は x = 1 に定まるので

xはyの関数でもあります。→逆関数の存在(数Ⅲ)

 

y=x2

において、yはxの関数です。

ですが、y= 4 と決めてもxの値は x = ±2となり、ただ1つに決まりません。

なのでxはyの関数ではありません。

 

したがって、

yがxの関数であってもxはyの関数であるとは限らない

ということになります。

 

数学的な細かい考え方や数Ⅲで効いてくるのでぜひ知っておいてください。

関数 y=f(x) において、x=a のときのyの値を f(a) と書き、f(a) を f(x) の x=a におけるといいます。

定義域・値域

以下、関数 y=f(x) を考えます。

定義域:xの値が取りうる範囲(xの変域)のこと。ex) y=√x の定義域は x≧0

値域:xが定義域全体を動くときのyの変域のこと。

定義域は(a≦x≦b)のように表すことが多いです。

また定義域について特に断りがないとき、xの定義域は実数全体であることが多いです。

座標

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図のように平面上に座標軸(x軸・y軸)を定めると、その平面上のどんな点Pも図のような実数aとbの組で表されます。

この組(a, b)を点Pの座標といい、座標が(a, b)である点PをP(a, b) と表します。

座標軸が定められた平面を座標平面といいます。

また、座標平面で

・x>0かつy>0の領域を第1象限

・x<0かつy>0の領域を第2象限

・x<0かつy<0の領域を第3象限

・x>0かつy<0の領域を第4象限

といいます。

ただし、x軸とy軸はどの象限にも含まれません。

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右上から反時計回りですね♪

命題と証明【数Ⅰ】

逆・対偶・裏

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1項目目はそのように言う、と決まってるので理屈云々じゃなく覚えましょう。

 

仮定と結論をひっくり返したのが「逆」です。

上にバーを付けたのが「裏」です。

逆の裏が「対偶」です。

 

問題は2項目目。

めちゃくちゃ大事です。

なぜこうなるのでしょう?

色塗りで確かめます。

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よって

命題p⇒qを証明するとき、その対偶命題を証明しても良い。

背理法

もう一つ別の証明方法を。

 

ある命題Xが成り立たないと仮定して矛盾を導くことで、Xが成り立つと結論付ける証明方法を背理法といいます。

背理法の手順

簡単にまとめます。

 

1.証明したい命題が成り立たないと仮定

2.矛盾を導く

3.命題は正しいと結論

 

例題で理解しましょう。

有名な問題です。

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(※互いに素:1以外に公約数をもたないこと。詳しくは数Aで学習)

結構背理法を使う時があるので使えるようにしましょう。

 

 

それでは今日はこの辺で。さようなら。

必要条件・十分条件【数Ⅰ】

必要条件・十分条件

結論からいきましょう。このようにいいます。

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必要条件⇒十分条件 です。

 

よく分からないと思いますが、例題を通して見ていきましょう。

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両方向の矢印について考えます。

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一言で言いましょう。

矢印の向きで考えるのは分かりづらい

そして間違えやすいです。

なのでこれで覚えましょう。

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遠回りっぽいですが、こっちのが圧倒的に楽です

例題でやってみましょう。

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A∩Bのとき必ずaとbは偶数だと分かったのでA∩B={1, 2}の集合が内側に入ってます。

反例があるので「a, bともに〜」の集合が内側に入ることはありません。

という訳でこのような図になります。

 

あとはゴロの通り!

 

どうです?

見た目で十分条件か必要条件か判断しやすくないですか?

 

このブログを見た方は是非この考え方を忘れないでほしいです。

 

 

それでは今日はこの辺で。さようなら。

 

 

条件の合成・否定とド・モルガンの法則【数Ⅰ】

条件の合成と否定

今回は短めにいきましょう。

 

条件p, qを満たすもの全体の集合をP, Qとします。

このとき、条件

・pでない

・pかつq

・pまたはq

はそれぞれP, Qを用いて表すと

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となります。

よって、ド・モルガンの法則より

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まとめると

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それでは今日はこの辺で。さようなら。

命題と条件【数Ⅰ】

命題

命題:正しいか正しくないかが明確に決まる、式や文章で与えられたもの。

 

『日本人は必ず日本語を話す』は命題です。

『橋本環奈は可愛い』は命題ではありません。なぜなら「可愛い」と感じるかどうかは人それぞれで、明確に正しいとも正しくないとも言えないからです。

 

ある命題が正しいとき、その命題は真であるといいます。正しくないとき、その命題はであるといいます。

 

条件

文字xを含んだ式で、xの値を変えると真偽が変わるものがあります。

例えば

xは偶数である

という文は

・x=2のときは真

・x=101のときは偽

です。

このような文字を含んだ式や文を条件といいます。

条件と集合

p, qという2つの条件についての命題『pならばq』を『p⇒q』と書きます。

このとき、pを仮定、qを結論といいます。

つまり『仮定⇒結論』となります。

 

また、命題『p⇒q』かつ『q⇒p』のことを、『p⇔q』と書きます。

 条件と集合

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『p⇒q』ということは、「どんなpを満たすものもqを満たす」ということです。

言い換えると「すべてのpを満たすものはQの要素である」

つまり「PはQの部分集合」ということなので上のことが成り立ちます。

これは図を見るとわかるように「QからはみだすPの要素がない」ということです。

 

『p⇔q』が真のとき、

QからはみだすPの要素がない」かつ「PからはみだすQの要素がない

ことになります。

こうなるのはP=Qのときです。

よって、以下が成り立ちます。

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『p⇒q』というのは、「pならば必ずqである」ということです(この「必ず」という言葉がめちゃくちゃ大事なのでこれだけでも覚えてください!)。

つまりこれを「偽」というには

判例1つあげれば良い

んです。

 

▽例題

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長くなりました。今日はここまで。それではまた次回お会いしましょう。さようなら。

 

 

 

ド・モルガンの法則【数Ⅰ】

ド・モルガンの法則

2つの集合A, Bについて以下が成り立ちます。

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これは、ベン図に実際色を塗ってみれば確かめられます。

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ド・モルガンの法則の2番目は自分で確かめてみましょう♪

 

覚え方は

「上のバーを切り離して(繋げて)∩(∪)をひっくり返す」

です。

 

それでは短いですが、今日はこの辺で。さようなら。