平方根の定義・性質【数Ⅰ】
平方根の定義
平方根：２乗するとaになる数、すなわち x2=a となるxをaの平方根といいます。
√a ：aの正の平方根（ルートaと読みます）
-√a ：aの負の平方根
ここで注意してほしいのは「平方根≠ルート」ということです。
平方根のうち正のものを「ルート〇」と呼ぶんです。
これが間違えやすく重要なので気を付けましょう。
また、√０＝０と定めます。
厳密には０は正でも負でもありませんが、この√０＝０という性質から、以下では便宜上あたかも０が正であるかのように書きますがご了承ください。
ちなみに.....
「負の平方根」ってわかりますか？
例えば、
「２乗して４になる数」は何でしょう？
２2=4 だから４の平方根は２
これは間違いです。
どうしてでしょう？
では試しに -2 を２乗してみましょう。
(-2)2=(-2)×(-2)=4
4になりましたね。
てなわけで４の平方根は ±２（+２と₋２をまとめてこう書きます）です。
この例に限らず、
（正の数）×（正の数）も（負の数）×（負の数）も正の数になります。
ですので、一般的にどんな正の実数も正の平方根と絶対値が同じ負の平方根をもちます。
平方根の性質
平方根は次の性質が成り立ちます。
なにやら面倒くさそうですね。
これを全部覚えますか？
無駄です。
全然覚えなくてＯＫです。
というのは、考えれば当たり前のことだからです。
定義さえ知っていればいいんです。
「そんなこと言われてもわからないよ」なんて言わずにひとつずつ見ていきましょう。
まず➀。
これって冒頭で説明した「平方根の定義」を数式にしただけです。
➀の一番右は「ルートがついてるやつは正ですよ」ってことです。言い方を変えると「正の平方根はルートをつけて表しますよ」ってこと。
左と真ん中は「正の平方根も負の平方根も２乗すればルートの中の数になりますよ」って意味です。２乗すればある数になるものを平方根っていうんだから当たり前ですよね。
次に②。これは少しわかりづらそうですね。
ではまず、2乗してa2になる数って何でしょう？
答えは±aです。
ところで、+aと-a、どっちが正の数でどっちが負の数だと思います？
「馬鹿にすんなよ。+ってついてる方が正で-がついてる方が負だよ。」
本当にそうでしょうか？
aが正の数って一言も言われてないし負の数ともいわれてない。aが正であれば合ってるけど、aが負だったら答えは逆になりませんか？
よってこのままでは判別不能なんですねえ。
でも「わかりません」って答えは嫌ですよね。
だから数学では「場合分け」ということをします。
場合分けって何でしょう？
この例では「aが正のとき」と「aが負のとき」で答えが変わります。
だから答えが出せない。
だったらaが正のときと負のときとで別々に答えを出せばいいんじゃね？
こういう考え方が場合分けです。
そこで、場合分けして答えると
a≧０のとき +a≧０、-a≦０
a＜０のとき +a＜０、-a＞０
（※正負を不等号で表しました。この表し方も慣れましょう！）
ここまで来たらもう終了も同然。
では、a2の正の平方根は何でしょう？
そうです。
a≧０のとき a
a＜０のとき -a
です。
➁の1行目はこのことを書いてます。ルートは正の平方根のことでしたよね？
そして最後の行について。
a2の正の平方根は？という問の解答
a≧０のとき a
a＜０のとき -a
これ、どこかで見たことありませんか？
前回(絶対値【数Ⅰ】 - 宇宙を歩く高校数学 基礎)の絶対値の外し方と全く同じです。
だから➁の最後の行になるんですなあ。
かみ砕いて説明した（つもり）のでだいぶ長くなりました。
ですが、この説明をくまなく理解してください。
丸暗記よりよっぽど価値があります。
「覚えた方がはやい」って人もいるかもしれません。
でも数学は暗記じゃない、とたびたび言いましたが
こんなの覚えるものでもないです。
覚えるだけ無駄です。
だって定義を数式にしてるだけなんですから、
これを覚えるってことは最初に覚えた平方根の定義と同じことをもう一度（別な形に変身したものを新たに）覚えるということです。
そういわれると時間の無駄な気がしませんか？
数学では暗記より理解を大事にしてください。
そうすれば公式なんて忘れても瞬時に導けます。
そして何より暗記型よりよっぽど効率がいいので時間も浮きます。
その無駄な暗記に費やしている暇があったら英単語でも覚えてください。
大変長くなりました。お疲れ様です。
それではまた次回お会いしましょう。さようなら。
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数学に関する質問をお待ちしております。
僕が解ける問題であれば真摯に対応いたします（苦笑）。
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