絶対値を含む不等式【数Ⅰ】
|x|=c (c>0)の解について考えてみましょう。
c>0という条件は絶対値は必ず正 ということから来てます。
このときxの符号は+かもしれないし、-かもしれません。
わからないのでどっちも考えてみます。
もしxの符号が+またはx=0のとき、数学っぽく言うとx≧0のとき、絶対値記号はそのまま外せます。よって
x=c
です。(x=0のときも| |をただ外すだけでいいのでx>0のときと一緒にまとめました)
xの符号が-、すなわちx<0のとき、絶対値記号は-を| |の中身にかけて外します(忘れた方は過去ブログhttp://mathematics-for-universe.hatenablog.com/entry/2017/03/25/093350をcheck!)。なので
-x=c
すなわち
x=-c
です。
まとめると
cが正の時
|x|=c の解は x=±c
となります。
絶対値を含む不等式
一般に、次のことが言えます。
c>0のとき
|x|<c の解は -c<x<c
|x|>c の解は x<-c, c<x
これは覚えなくてOKです。
覚えてればはやいですがあまり勧めません。
なぜならこんな間違え方をしてしまうからです。
[結論は偶然正解になりましたが、解答記述としては不正解です。]
何が違うか分かります?
上のように簡単に絶対値が外せるのは右辺が正のときだけです。
ですがこの場合、右辺が3xです。xが-100とかになって右辺が負になる可能性もありますよね。
だから簡易的に外すやり方でやると間違いなんです。
だから、この簡易的に外す方法に頼るより、原理原則に立ち返って絶対値を外した方が安全で確実です。
じゃあその「原理原則」とはなんでしょう。
それは
⑴絶対値記号の中身が正のときと負のときとで場合分け。
⑵正のときはそのまま絶対値を外す。
⑶負のときは中身にマイナスをかけて外す。
⑷⑵と⑶の結果を「または」でつなぐ。(つまり両方答えにする)
です。これは不等式でも一緒です。
では正答を見てみましょう。
[1]ではxの中身が正または0のときのことだけを考えます。
つまり、[1]ではx-4≧0という条件を設けます。
x-4≧0のときx≧4なので、[1]の中での解は最低でもxが4以上である必要があります。
絶対値を外して解いていくと、x<-2となってx≧4をみたしません。
なので「[1]で決めた条件の下では解はない」と結論します。
同じように[2]ではx-4が負、すなわちx<4という条件を設定します。
解いていくとx<1という答えが出てきます。
このとき、x<4とあらかじめ設定してあるので、これも満たすように答えなければいけません。
なので[2]での解はx<1となります。
そして、求める答えは「[1]または[2]」なので、両方の答えを解とします。
今回はたまたま[1]が解なしだったので、答えは[2]の解になります。
どうでしょう。
原理原則に立ち返れば、たとえそれが簡易的に絶対値記号を外せる問題だとしても、そうでないとしても、絶対値記号を外せます。
だからこの絶対値を含む不等式は、原理原則に忠実に解いてください。
今回はここまで。
それではまた次回お会いしましょう。さようなら。