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宇宙を歩く高校数学 基礎

中身は高校数学(ⅠA・ⅡB・Ⅲ)の教科書レベルでの解説をしていきます。

絶対値を含む不等式【数Ⅰ】

|x|=c (c>0)の解について考えてみましょう。

c>0という条件は絶対値は必ず正 ということから来てます。

このときxの符号は+かもしれないし、-かもしれません。

わからないのでどっちも考えてみます。

もしxの符号が+またはx=0のとき、数学っぽく言うとx≧0のとき、絶対値記号はそのまま外せます。よって

x=c

です。(x=0のときも| |をただ外すだけでいいのでx>0のときと一緒にまとめました)

xの符号が-、すなわちx<0のとき、絶対値記号は-を| |の中身にかけて外します(忘れた方は過去ブログhttp://mathematics-for-universe.hatenablog.com/entry/2017/03/25/093350をcheck!)。なので

-x=c

すなわち

x=-c

です。

まとめると

cが正の時

|x|=c の解は x=±c

となります。

絶対値を含む不等式

一般に、次のことが言えます。

c>0のとき

|x|<c の解は -c<x<c

|x|>c の解は x<-c, c<x

これは覚えなくてOKです。

覚えてればはやいですがあまり勧めません。

なぜならこんな間違え方をしてしまうからです。

f:id:mathematics-for-universe:20170510213136j:image

[結論は偶然正解になりましたが、解答記述としては不正解です。]

何が違うか分かります?

上のように簡単に絶対値が外せるのは右辺が正のときだけです。

ですがこの場合、右辺が3xです。xが-100とかになって右辺が負になる可能性もありますよね。

だから簡易的に外すやり方でやると間違いなんです。

だから、この簡易的に外す方法に頼るより、原理原則に立ち返って絶対値を外した方が安全で確実です。

じゃあその「原理原則」とはなんでしょう。

それは

⑴絶対値記号の中身が正のときと負のときとで場合分け。

⑵正のときはそのまま絶対値を外す。

⑶負のときは中身にマイナスをかけて外す。

⑷⑵と⑶の結果を「または」でつなぐ。(つまり両方答えにする)

 です。これは不等式でも一緒です。

では正答を見てみましょう。

f:id:mathematics-for-universe:20170510213314j:image

[1]ではxの中身が正または0のときのことだけを考えます。

つまり、[1]ではx-4≧0という条件を設けます。

x-4≧0のときx≧4なので、[1]の中での解は最低でもxが4以上である必要があります。

絶対値を外して解いていくと、x<-2となってx≧4をみたしません。

なので「[1]で決めた条件の下では解はない」と結論します。

同じように[2]ではx-4が負、すなわちx<4という条件を設定します。

解いていくとx<1という答えが出てきます。

このとき、x<4とあらかじめ設定してあるので、これも満たすように答えなければいけません。

なので[2]での解はx<1となります。

 

そして、求める答えは「[1]または[2]」なので、両方の答えを解とします。

今回はたまたま[1]が解なしだったので、答えは[2]の解になります。

 

どうでしょう。

原理原則に立ち返れば、たとえそれが簡易的に絶対値記号を外せる問題だとしても、そうでないとしても、絶対値記号を外せます。

だからこの絶対値を含む不等式は、原理原則に忠実に解いてください。

 

 

今回はここまで。

それではまた次回お会いしましょう。さようなら。