命題と条件【数Ⅰ】

命題

命題:正しいか正しくないかが明確に決まる、式や文章で与えられたもの。

『日本人は必ず日本語を話す』は命題です。

『橋本環奈は可愛い』は命題ではありません。なぜなら「可愛い」と感じるかどうかは人それぞれで、明確に正しいとも正しくないとも言えないからです。

ある命題が正しいとき、その命題は真であるといいます。正しくないとき、その命題は偽であるといいます。

条件

文字xを含んだ式で、xの値を変えると真偽が変わるものがあります。

例えば

xは偶数である

という文は

・x=2のときは真

・x=101のときは偽

です。

このような文字を含んだ式や文を条件といいます。

条件と集合

p, qという2つの条件についての命題『pならばq』を『p⇒q』と書きます。

このとき、pを仮定、qを結論といいます。

つまり『仮定⇒結論』となります。

また、命題『p⇒q』かつ『q⇒p』のことを、『p⇔q』と書きます。

 条件と集合

『p⇒q』ということは、「どんなpを満たすものもqを満たす」ということです。

言い換えると「すべてのpを満たすものはQの要素である」

つまり「PはQの部分集合」ということなので上のことが成り立ちます。

これは図を見るとわかるように「QからはみだすPの要素がない」ということです。

『p⇔q』が真のとき、

「QからはみだすPの要素がない」かつ「PからはみだすQの要素がない」

ことになります。

こうなるのはP=Qのときです。

よって、以下が成り立ちます。

『p⇒q』というのは、「pならば必ずqである」ということです(この「必ず」という言葉がめちゃくちゃ大事なのでこれだけでも覚えてください！)。

つまりこれを「偽」というには

判例を1つあげれば良い

んです。

▽例題

長くなりました。今日はここまで。それではまた次回お会いしましょう。さようなら。